EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

Tipos de soluções (discussão das raízes)

 

Exercícios

 

Equações biquadradas

 


TIPOS DE SOLUÇÕES (DISCUSSÃO DAS RAÍZES)

1) EQUAÇÕES COM DUAS SOLUÇÕES

EXercicio 1.- A equação:  3x2 - 4x + 1 = 0. , resolvida nos exercícios da primeira parte do tema, tinha como soluções: x = 1 e x = 1/3.

Recordemos que neste caso o gráfico que se obtinha a partir da equação (parábola) cortava o eixo dos X em dois pontos, logo a equação tinha duas soluções.

Vê-se no gráfico seguinte

Analiticamente, observa-se que o radicando da raiz quadrada da fórmula era positivo (ver fórmula resolvente). A este valor chamamos "discriminante" da equação. O símbolo é um triângulo pequenino, mas aqui chamar-lhe-emos "D"

No exemplo o discriminante D = 16 - 12 = 4 > 0, logo a equação tem duas soluções.

 

2) EQUAÇÕES QUE TÊM UMA SÓ SOLUÇÃO

Exercício 2.- Resolve no caderno a seguinte equação:

x2 - 2x +1 = 0

Ao aplicar a fórmula resolvente, chegaste à raiz quadrada de "0". "o discriminante da equação é "0"

Qual será o seu significado?

Como a raiz quadrada de 0 é 0, obtém-se x = 2/2 = 1 como "única solução" da equação. Portanto neste caso só existe uma solução.

Podes observar o que foi dito no gráfico seguinte.

 

A parábola é tangente ao eixo dos  X num ponto, naquele em que x = 1. Portanto:

"Se a equação do segundo grau tem uma só solução, a parábola é tangente ao eixo dos X num só ponto: o vértice da parábola".

"se mudas o valor dos parâmetros e queres voltar aos iniciais, podes fazê-lo clicando no botão início".

 

3) EQUAÇÕES QUE NÃO TÊM SOLUÇÃO

Exercício 3.- Resolve no teu caderno a seguinte equação:

x2 + 2x + 2 = 0

Ao aplicar a fórmula resolvente obterás a raiz quadrada de - 4 (D = - 4) que, "atenção" por ser um número negativo, sabes que a raiz quadrada do mesmo não existe.

Dizemos que neste caso a equação não tem solução.

Mas vejamos graficamente o que significa:

Observa no gráfico seguinte, onde "a", "b" e "c" tomam os valores correspondentes (1, 2 e 2 respectivamente).

O que observas agora a respeito da parábola e do eixo dosX ?

Naturalmente a parábola não corta esse eixo e a equação não tem solução.

Exercício 4.- Resolver a equação: -2x2 +4x - 5= 0

Muda no gráfico anterior o valor dos parâmetros. Deverás obter a raiz quadrada de -24, logo a equação também não terá solução.

Comprova no gráfico anterior, mudando agora os valores de a, b e c para os correspondentes a este caso (-2, 4 y -5), que a parábola também não corta o eixo dos X.

Portanto:

"Se a equação do segundo grau não tem solução, o gráfico correspondente não corta o eixo dos X"

RESUMO

Vimos que o número de soluções da equação do segundo grau depende do sinal do número que se obtém dentro da raiz quadrada que aparece na fórmula resolvente, ou seja o sinal do "discriminante" da equação e o seu valor será:

D = b2 - 4ac. Pode ocorrer:

a) Que o discriminante seja um número positivo (Exercício 1 ). Neste caso a equação tem duas soluções.

b) Que o discriminante seja 0 (Exercício 2). Neste caso a equação tem uma única solução.

c) Que o discriminante seja um número negativo (Exercícios 3 e 4). neste caso a equação não tem solução.

 


EXERCÍCIOS

Exercício 5 .- Utiliza o gráfico seguinte, cambiando os valores dos parâmetros a, b e c de forma adequada, para resolver as seguintes equações graficamente.

a) x2 - 2x 11 = 0

b) x2 -1/4 = 0

c) 4x2 - 4x +3 = 0

Resolve-as analiticamente no teu caderno usando a fórmula para comprovar que obténs as mesmas soluções.

Exercício 6.- Utiliza o gráfico anterior para encontrar equações do segundo grau (com coeficientes inteiros), distintas das que resolveste, que tenham duas, uma ou nenhuma solução e escreve essas soluções.

Pratica quanto desejes mudando as equações na janela..

Exercício 7.- Escreve no teu caderno ao menos duas equações de cada tipo calculando o valor do "discriminante" o vendo que em cada caso é ele que corresponde ao número de soluções da equação.

 


EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Denominam-se equações biquadradas as equações de quarto grau em que não aparecem termos do terceiro nem do primeiro grau.

Exemplos: x4 - 5x2 +4 = 0 . .; . . .x4 - 4 = x2 - 1

Para resolver este tipo de equações  procede-se inicialmente da mesma forma que para as de segundo grau, quer dizer, operar até não haver denominadores e expressar a equação com o segundo membro igualado a 0.

Graficamente pode-se resolver como o caso das de segundo grau, representando o gráfico correspondente ao primeiro membro da equação uma vez igualado a 0.

Ver representada no gráfico seguinte a primeira equação do exemplo: x4 - 5x2 +4 = 0

"Atenção que agora chamaremos a, b e c respectivamente aos coeficientes de x4, x2 e termo independente"

 

Pode observar-se que agora o gráfico já não é uma parábola mas três que cortam o eixo dos X em quatro pontos!

Naturalmente isto significa que a equação tem quatro soluções: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2 (Procura-as arrastando o ponto vermelho ou modificando os valores de x na janela inferior).

 

Resolução analítica

Para resolver as equações biquadradas procede-se de acordo com os seguintes passos (vamos vê-los com o exemplo anterior).

Exercício 8.- Resolver analiticamente a equação: x4 - 5x2 +4 = 0

a) Simplificar e agrupar os termos no primeiro membro (já está).

b) Chamar a x2 = z (poderia ser outra letra qualquer) , pelo que x4 = z2

c) Resolver a equação com a nova incógnita: z2 - 5z + 4 = 0 ( obtém-se usando a fórmula da equação do segundo grau: z = 1 ; z = 4)

d) A partir dos valores de z, obter os de x.:

z = x2 = 1 ; donde : x = raiz quadrada de 1 = ± 1 ou

z = x2 = 4, donde : x = raiz quadrada de 4 = ± 2

Portanto obteremos as quatro soluções que vimos antes graficamente: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2

 

Casos possíveis para as soluções

Tendo em conta os tipos de soluções de uma equação do segundo grau, para as equações biquadradas, podem-se obter  4, 3, 2, 1 ou nenhuma solução.

· Quatro soluções quando a equação correspondente do segundo grau tenha duas positivas

· Três soluções quando a correspondente do segundo grau tenha uma positiva e uma 0 (a raiz quadrada de 0 é 0 logo desta só se obtém uma)

· Duas soluções quando a correspondente do segundo grau tenha uma solução positiva e outra negativa (a raiz quadrada de um número negativo não existe).

· Uma solução quando a correspondente do segundo grau tenha só a solução 0 ou quando tenha uma solução 0 e outra negativa..

· Nenhuma solução quando a correspondente do segundo grau tenha duas negativas, uma só negativa ou nenhuma solução.

No gráfico seguinte apresenta-se o caso de três soluções: x4 - 9x2 = 0

Apresenta-se a vermelho a equação biquadrada e a azul a do segundo grau correspondente (observa que agora escrevemos as equações completas nas duas janelas inferiores.

 

 

Exercício 9.- Resolver analiticamente a equação anterior : x4 - 9x2 = 0, comprovando as soluções obtidas graficamente.

Exercício 10.- Utiliza o gráfico seguinte para resolver graficamente as seguintes equações biquadradas.

Escreve na janela esquerda a equação biquadrada e na outra (direita) a do segundo grau que temos de resolver também.

Resolve-as analiticamente comprovando que as soluções coincidem

a) x4 - 3x2 + 2 = 0. .............. b) x4 - 10x2 = -9. .............c) x4 = x2. ................d) x4 - 2x2 - 8 = 0

"Terás que observar os pontos de corte com o eixo dos x. Quando não são inteiros, podes ver o valor aproximado clicando com o rato no ponto e vendo as coordenadas".

Autor: Leoncio Santos Cuervo

Tradução e adaptação: Lurdes Lima

 
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